Lengkapkan urutan orthonormal

1. Apa urutan orthonormal yang lengkap?
2. Adalah ruang Hilbert yang lengkap?
3. Adakah ruang Hilbert ditutup?
4. Adakah rn ruang Hilbert?

Apa urutan orthonormal yang lengkap?

Definisi ‍14 urutan orthonormal (e_i) di ruang Hilbert H selesai jika identiti ⟨y, e_k ⟩ = 0 untuk semua k menyiratkan y = 0. Urutan orthonormal lengkap juga dipanggil asas orthonormal dalam h. Teorem ‍15 ‍ (secara orthonormal) biarkan e_i menjadi asas orthonormal di ruang Hilber H. Maka untuk mana -mana x∈ H kita ada. x =

Adalah ruang Hilbert yang lengkap?

Oleh itu, mana -mana ruang produk dalaman adalah ruang linear norma. Kami akan sentiasa menggunakan norma yang ditakrifkan dalam (6.1) Di ruang produk dalaman. Definisi 6.2 ruang Hilbert adalah ruang produk dalaman yang lengkap.

Adakah ruang Hilbert ditutup?

(b) Setiap subspace dimensi terhingga ruang Hilbert H ditutup. Contohnya, jika m menandakan rentang unsur -unsur finitely x1, ... . xn dalam h, maka set m dari semua kombinasi linear yang mungkin dari unsur -unsur ini adalah dimensi terhingga (dimensi n), oleh itu ia ditutup dalam h.

Adakah rn ruang Hilbert?

Sebagai contoh, RN adalah ruang Hilbert di bawah produk titik biasa: = v · w = v1w1 + ··· + vnwn. Secara umumnya, ruang produk dalaman dimensi yang terhingga adalah ruang Hilbert. Teorem berikut menyediakan contoh ruang Hilbert tak terhingga.